برای حل این سوال، ابتدا باید نحوه انجام عملیات‌های خواسته شده بر روی مجموعه‌ها را توضیح دهیم.
فرض کنید دو تابع \( f \) و \( g \) به صورت داده شده‌اند:
\( f = \{ (1, 2), (2, 4), (3, 7), (4, 0) \} \)
\( g = \{ (1, 5), (2, 0), (4, 3) \} \)
برای پیدا کردن مقادیر خواسته شده:
الف) \( f + g \):
تابع جمع دو تابع \( f \) و \( g \) به این صورت است که برای هر ورودی مشترک، مقادیر خروجی را با هم جمع می‌کنیم.
- برای \( x = 1 \): \( f(1) + g(1) = 2 + 5 = 7 \)
- برای \( x = 2 \): \( f(2) + g(2) = 4 + 0 = 4 \)
- برای \( x = 4 \): \( f(4) + g(4) = 0 + 3 = 3 \)
بنابراین: \( f + g = \{ (1, 7), (2, 4), (4, 3) \} \)
ب) \( f \times g \):
ضرب دو تابع تنها شامل ورودی‌های مشترک است و خروجی‌ها در هم ضرب می‌شوند.
- برای \( x = 1 \): \( f(1) \times g(1) = 2 \times 5 = 10 \)
- برای \( x = 2 \): \( f(2) \times g(2) = 4 \times 0 = 0 \)
- برای \( x = 4 \): \( f(4) \times g(4) = 0 \times 3 = 0 \)
بنابراین: \( f \times g = \{ (1, 10), (2, 0), (4, 0) \} \)
ج) \( f - g \):
از مقادیر خروجی تابع \( g \) از مقادیر متناظر در \( f \) کم می‌کنیم.
- برای \( x = 1 \): \( f(1) - g(1) = 2 - 5 = -3 \)
- برای \( x = 2 \): \( f(2) - g(2) = 4 - 0 = 4 \)
- برای \( x = 4 \): \( f(4) - g(4) = 0 - 3 = -3 \)
بنابراین: \( f - g = \{ (1, -3), (2, 4), (4, -3) \} \)
د) \( \frac{f}{g} \):
تقسیم دو تابع تنها برای ورودی‌های مشترک ممکن است.
- برای \( x = 1 \): \( \frac{f(1)}{g(1)} = \frac{2}{5} = 0.4 \)
- برای \( x = 2 \): \( \frac{f(2)}{g(2)} = \text{تقسیم بر صفر نمی‌شود} \)
- برای \( x = 4 \): \( \frac{f(4)}{g(4)} = \frac{0}{3} = 0 \)
بنابراین: \( \frac{f}{g} = \{ (1, 0.4), (4, 0) \} \)
توجه شود که برای \( x = 2 \) امکان تقسیم وجود ندارد، لذا آن را نادیده می‌گیریم.
